Question

17．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线l：kx-y-2k-3=0与圆C相交于A，B两点，使△ABC为直角三角形，则k=k=1或k=$\frac{17}{7}$；若直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值为$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（4，0）到直线l：kx-y-2k-3=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得k的值；由题意，只需（x-4）²+y²=$\frac{9}{4}$与直线l：kx-y-2k-3=0有公共点，转化为圆心C（4，0）到直线l：kx-y-2k-3=0的距离为d=$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\frac{3}{2}$求解．

解答 解：化圆x²+y²-8x+15=0为（x-4）²+y²=1，圆心坐标为C（4，0），半径r=1．
由题意可得△ABC是等腰直角三角形，
∴圆心C（4，0）到直线l：kx-y-2k-3=0的距离等于r•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
再利用点到直线的距离公式可得$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：k=1或k=$\frac{17}{7}$；
直线l：kx-y-2k-3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-4）²+y²=$\frac{9}{4}$与直线l：kx-y-2k-3=0有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线l：kx-y-2k-3=0的距离为d，则d=$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\frac{3}{2}$，即7k²-48k-27≤0，
解得$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$≤k≤$\frac{24+3\sqrt{85}}{7}$，故k的最小值是$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．
故答案为：k=1或k=$\frac{17}{7}$；$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．