Question

已知数列{a_n}中，a₁=

3

5

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（1）利用等差数列的定义，证明数列{b_n}是等差数列；（2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求数列{b_n}的通项公式及前n项和．

解答： 解：（1）∵a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），
∴a_n=2-

1

an-1

=

2an-1-1

an-1

，
∵数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

（n∈N^*），
∴当n≥2，n∈N^*时，
b_n-b_n-1=

1

an-1

-

1

an-1-1

=

1

2an-1-1 an-1 -1

-

1

an-1-1

=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=

an-1-1

an-1-1

=1（常数）．
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）∵a₁=

3

5

，b_n=

1

an-1

（n∈N^*），
∴b1=

1

3 5 -1

=-

5

2

．
由（1）知：数列{b_n}是等差数列，
∴b_n=-

5

2

+（n-1）×1=n-

7

2

，（n∈N^*），
S_n=-

5

2

n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2-3n，（n∈N^*）．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，本题难度不大，属于基础题．