Question

是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是单调递增的？若存在，求出a的一个值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：正切函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：假设存在实数a，且a∈Z，使得函数y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是单调递增的，由余切函数的单调性可知：y=cotx在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是减函数，则a＜0，运用-α的诱导公式，得到y=cot（ax+

π

4

）=-cot（-ax-

π

4

），求出y=cot（-ax-

π

4

）的减区间，再由集合的包含关系，令k=0，即可得到结论．

解答： 解：假设存在实数a，且a∈Z，使得函数y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是单调递增的，
由余切函数的单调性可知：y=cotx在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是减函数，
则a＜0，由y=cot（ax+

π

4

）=-cot（-ax-

π

4

），
由kπ＜-ax-

π

4

＜kπ+π，k∈Z，解得

kπ+ π 4

-a

＜x＜

kπ+ 5π 4

-a

，
再由假设可得，

kπ+ π 4

-a

≤

π

8

＜

5π

8

≤

kπ+ 5π 4

-a

，
解得，当k=0时，-2≤a≤-2，则a=-2．
所以存在实数a且a=-2，使得函数y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是单调递增．

点评：本题主要考察了余切函数的图象和性质，属于中档题和易错题．