Question

已知椭圆C：x²+2y²=4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知O为原点，点A（t，2）（t∈R），点B在椭圆C上，若OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的方程化为标准方程，求出几何量a、b、c即可求椭圆C的离心率；
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0，通过OA⊥OB，推出t=-

2y0

x0

，然后求出|AB|的表达式利用基本不等式即可求解线段AB长度的最小值．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（2分）
所以a²=4，b²=2，从而c²=a²-b²=2．（3分）
因此a=2，c=

2

．（4分）
故椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

．（6分）
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．（8分）
因为OA⊥OB，
所以tx₀+2y₀=0
解得t=-

2y0

x0

．（10分）
又x₀²+2y₀²=4，∴y₀²=

4-x02

2

（12分）
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+

4y02

x02

+4=x₀²+

4-x02

2

+

2(4-x02)

x02

+4
=

x02

2

+

8

x02

+4（0＜x₀²≤4）．（14分）
因为0＜x₀²≤4，所以

x02

2

+

8

x02

≥4，当且仅当x₀²=4时等号成立，所以|AB|²≥8．
故线段AB长度的最小值为2

2

．（16分）

点评：本题考查椭圆方程的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．