Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）
（1）求f（1），f（4）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=

1

2

，y=1，则有f（

1

2

）=f（

1

2

）+f（1），可解出f（1）=0；同理令x=

1

2

，y=2，令x=y=2，解出f（4）；
（2）由题意可知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，化f（-x）+f（3-x）≥-2为f（-x（3-x））≥f（4），从而利用单调性求解．

解答： 解：（1）令x=

1

2

，y=1，则有f（

1

2

）=f（

1

2

）+f（1），
故f（1）=0；
令x=

1

2

，y=2，则有f（1）=f（

1

2

）+f（2），
解得，f（2）=-1，
令x=y=2，则有f（4）=f（2）+f（2）=-2；
（2）∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
故f（-x）+f（3-x）≥-2可化为f（-x（3-x））≥f（4），
故

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

，
解得，-1≤x＜0．

点评：本题考查了抽象函数的性质判断与应用，属于中档题．