题目内容

在△ABC中，
sinA
a
=
3
cosB
b
．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理的应用
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）由正弦定理知：
a
sinA
=
b
sinB
=
b
3
cosB
，可得sinB=
3
cosB，即有tanB=
3
可求得B的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sinB=
3
2
，a=
4
3
3
sinA，A=
2π
3
-C从而有S△ABC=
1
2
sin（2C-
π
6
）+
1
4
≤
3
4
．
解答： 解：（Ⅰ）∵
sinA
a
=
3
cosB
b

∴由正弦定理知：
a
sinA
=
b
sinB
=
b
3
cosB

∴sinB=
3
cosB，即有 tanB=
3

∵0＜B＜π
∴B=
π
3
．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sinB=
3
2
，a=
4
3
3
sinA，A=
2π
3
-C
∴S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×
4
3
3
sin（
2π
3
-C）×2×sinC=
4
3
3
sin（
2π
3
-C）×sinC=sin2C+
3
3
cos2C+
3
3
=
2
3
3
sin（2C+
π
6
）+
3
3
≤
3
．
∴△ABC面积的最大值为
3
．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包括边界）内，则圆的半径能取到的最大值为（　　）
A、
3
2
B、4-
6
C、4+
6
D、
6
-1
已知数列an的前n项和Sn=
3n2-n
2
，n∈N+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn满足：bn=
1
3
（an+2）•2n，n∈N+，试求{bn}的前n项和公式Tn．
若a，b，c，d∈R，a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（　　）
A、ac＞bd
B、a2＞b2
C、c2≥d2
D、a-d＞b-c
△ABC的三个顶点分别是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则AC边上的高BD长为（　　）
A、5
B、
41
C、4
D、2
5
平面内给定三个向量
a
=（3，2），
b
=（-1，2），
c
=（4，1）．
（1）能否以
b
、
c
作基底，表示a？若能，请写出表达式；
（2）若（
a
+k
c
）∥（2
b
-
a
），求实数k．
已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（
1
2
）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）
（1）求f（1），f（4）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．
定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜-2； ②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．
（Ⅰ）求出f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x-1）＞-4；
（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．
已知x，y∈（0，+∞），x+y-3=0，若
1
x
+
m
y
（m＞0）的最小值为3，则m的值为（　　）
A、3B、4C、5D、6

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