Question

在△ACB中，已知∠A=

π

4

，|BC|=2，设∠ACB=θ，θ∈（

π

2

，

3π

4

）．
（I）用θ表示|CA|；
（Ⅱ）求f（θ）=

CA

•

CB

的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用正弦定理即可得出；
（II）利用数量积运算性质、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）在△ABC中，∠A=

π

4

，|BC|=2，∠ACB=θ，
∴B=

3π

4

-θ，
由正弦定理得

|CB|

sin π 4

=

|CA|

sin( 3π 4 -θ)

，
∴|CA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)，θ∈（

π

2

，

3π

4

）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（θ）=

CA

•

CB

=|

CA

||

CB

|cosθ
=4

2

sin(

3π

4

-θ)cosθ
=4

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)cosθ
=4cos²θ+4sinθcosθ=2（cos2θ+1）+2sin2θ=2

2

sin(2θ+

π

4

)+2，
由2kπ-

π

2

≤2θ+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

3π

8

≤θ≤kπ+

π

8

，（k∈Z），
令k=1，得

5π

8

≤θ≤

9π

8

，
又∵θ∈（

π

2

，

3π

4

），
∴f（θ）的单调增区间为[

5π

8

，

3π

4

)．

点评：本题考查了正弦定理、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．