Question

已知直线方程为（m+1）x+（m+2）y+（m+3）=0．
（1）证明：直线恒过定点M；
（2）若直线分别与x轴、y轴的正，负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．

解答： 证明：（1）（m+1）x+（m+2）y+（m+3）=0化为（x+y+1）m=-x-2y-3．（3分）
由 x+y+1=0且-x-2y-3=0得：
x=1，y=-2，
∴直线必过定点（-1，-2）．（6分）
解：（2）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|

2

k

-1|，OB=|k-2|，（8分）
S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

|（

2

k

-1）（k-2）|=

1

2

|-

(k-2)2

k

|..（10分）
∵k＜0，
∴-k＞0，
∴S_△AOB=

1

2

[-

(k-2)2

k

]=

1

2

[4+（-

4

k

）+（-k）]≥4．
当且仅当-

4

k

=-k，即k=-2时取等号．（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，（14分）
直线的方程为y+2=-2（x+1），
即y+2x+4=0．（15分）

点评：本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．