Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后即可证得数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n+1=a_n+b_n，然后利用累加法求数列{b_n}的通项公式．

解答： （Ⅰ）证明：由S_n=3a_n-2，得S_n-1=3a_n-1-2（n≥2），
两式作差得：a_n=3a_n-3a_n-1，
2a_n=3a_n-1（n≥2），
由S_n=3a_n-2，得a₁=S₁=3a₁-2，a₁=1≠0．
∴数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）解：由数列{a_n}是等比数列，且a1=1，q=

3

2

，
∴an=(

3

2

)n-1．
由b_n+1=a_n+b_n，得bn+1-bn=(

3

2

)n-1，
又b₁=-3，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=(

3

2

)n-2+(

3

2

)n-3+…+

3

2

+1-3
=

1-( 3 2 )n-1

1- 3 2

-3
=2•(

3

2

)n-1-5．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．