Question

试比较（n+1）²与3ⁿ（n∈N^*）的大小，并给出证明（结合数学归纳法）．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：对n=1，2，3，4，…取值验证，找出最小的正整数m等于3，再按照数学归纳法的步骤进行证明．

解答： 解：当n=1时，（1+1）²＞3¹；
当n=2时，（2+1）²=3²；
当n=3时，（3+1）²＜3³；
当n=4时，（4+1）²＜3⁴，
猜想n≥3时，（n+1）²＜3ⁿ（n∈N^*），
证明：①当n=3时，左边为16，右边为27，显然成立，
②假设当n=k（k＞3）有（k+1）²与3^k（k∈N^*）成立，
当n=k+1时，3^k+1=3^k•3＞3（k+1）²，
而3（k+1）²-（k+2）²=3k²+6k+3-k²-4k-4
=2k²+2k-1，
由于k≥4，则2k-1＞0，即有3（k+1）²＞（k+2）²，
即3^k+1＞（k+2）²．
由①②知，对任意的n≥3，（n+1）²＜3ⁿ（n∈N^*）成立．

点评：本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．