Question

4．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=$5\sqrt{5}$．（如图所示）
（1）证明：平面SBC⊥平面SAC；
（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知条件证明SA⊥平面ABC，得到SA⊥BC，从而利用线面垂直判断证明BC⊥平面SAC；
（2）∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．利用数量关系即可求得二面角；
（3）三棱锥S-ABC以SA为高，△ABC为底面，利用体积公式直接可求出体积；

解答 （1）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC．
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC
∴SA⊥BC；
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵SA，AC在平面SAC内相交于A点，
∴BC⊥平面SAC．
∵BC?平面SBC
∴平面SBC⊥平面SAC；
（2）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC．
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5$\sqrt{5}$，得SC=$\sqrt{S{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10．
在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cos∠SCA=$\frac{AC}{SC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°．
（3）解：在Rt△SAC中，
∵SA=$\sqrt{S{C}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}=\sqrt{75}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ACB•SA=$\frac{1}{3}×\frac{25}{2}×\sqrt{75}=\frac{125\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理，二面角的求法以及棱锥体积公式的应用，属中等题．