Question

15．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求f（1）的值； 根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
（2）根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
（2）∵f（2）=1，∴f（-x）+f（3-x）≥-2，可化为f（-x）+f（3-x）≥-2f（2）．
∴f（-x）+f（2）+f（3-x）+f（2）≥0，
∴f（-2x）+f（6-2x）≥f（1），
∴f[-2x（6-2x）]≥f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x＞0}\\{3-x＞0}\\{-2x（6-2x）≥1}\end{array}\right.$，
∴x≤$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$．
∴不等式的解集为{x|x≤$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$}．

点评 本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．