Question

18．已知f（x）=|x²-2x-3|
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=f（x）-m有4个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出方程f（x）=0的根，利用配方法化简后，由二次函数的图象画出f（x）的函数图象，由图象写出f（x）的单调区间；
（2）将函数g（x）的零点问题转化为函数图象的交点问题，由图求出m的取值范围．

解答 解：（1）令f（x）=|x²-2x-3|=0，解得x=-1或x=3，
画出函数f（x）=|x²-2x-3|=|（x-1）²-4|的图象：
由图得，
f（x）的增区间是（-1，1），（3，+∞），
减区间是（-∞，-1），（1，3）；
（2）∵g（x）=f（x）-m有4个零点，
∴函数y=f（x）的图象与直线y=m有4个不同的交点，
由图得，m的取值范围是（0，4）．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的交点关系，以及二次函数的图象，考查转化思想、数形结合思想，属于中档题．