Question

9．已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为$\sqrt{2}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出线段AB的垂直平分线的方程，结合圆C的圆心C在直线x-y+2=0上，又在y轴上，求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，分类讨论，设方程，利用直线被圆C截得的弦长为$\sqrt{2}$，可得圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，得线段AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
直线AB的斜率k_AB=$\frac{3-2}{0-1}$=-1，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-$\frac{5}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即x-y+2=0．
由题意，圆C的圆心C在直线x-y+2=0上，又在y轴上，所以C（0，2），
半径r=|BC|=1，所以圆C的方程为x²+（y-2）²=1．  …．（6分）
（Ⅱ）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，
∵直线被圆C截得的弦长为$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1或3，
∴所求直线方程为x+y-1=0或x+y-3=0，
直线过原点，设直线l的方程为y=kx．∴$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=$±\sqrt{7}$x，∴所求直线方程为y=$±\sqrt{7}$x．
综上所述所求直线为x+y-1=0或x+y-3=0或y=$±\sqrt{7}$x．

点评 本题考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．