Question

已知圆C的圆心为直线x-y+1=0与2x+y-4=0的交点，且圆C与直线3x+4y+14=0相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（-1，-2）作直线l，①证明：直线l与圆C恒相交；②求直线l被圆截得的弦长最短时的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离求出半径，即可求圆C的标准方程；
（2）过点P（-1，-2）作直线l，①通过点与圆心的距离与半径比较即可证明：直线l与圆C恒相交；
②利用圆心距，半径，想的关系，即可求直线l被圆截得的弦长最短时的方程．

解答： （满分12分）
解：（1）联立

x-y+1=0 2x+y-4=0

得圆心为（1，2）
因为直线与圆相切，所以r=

|3+8+14|

5

=5
所以圆C的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=25---------------------------------（4分）
（2）①|PC|=2

5

＜5所以点P在圆内，
所以过圆内一点作直线l与圆C恒相交------------------------（7分）
②l被圆截得的弦长最短，则圆心到直线的距离最大，此时PC⊥l----------（8分）
直线PC的斜率为2，所以直线l的斜率为-

1

2

--------------------------（10分）
l的方程为x+2y+5=0----------------------------------------（12分）

点评：本题考查圆的方程的求法，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，基本知识的考查．