Question

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 (

5

，+∞)．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．

解答： 解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（-1，2）在双曲线上，得

1

a2

-

4

b2

=1，即b2=

4a2

1-a2

=c2-a2，
即c2=

4a2

1-a2

+a2=

5a2-a4

1-a2

，所以e2=

c2

a2

=

5-a2

1-a 2

=1+

4

1-a2

，
∵0＜a＜1，∴e²＞5，
故e＞

5

．
故答案为：(

5

，+∞)．

点评：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．