Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数F（x）=f′（x）+2ln（x+1）在[0，+∞）上的极值；
（Ⅲ）求实数k的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出切点坐标，利用函数的导数，求出切线的斜率，然后求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数F（x）=f′（x）+2ln（x+1）的导数，求出极值点，通过列表分析函数的单调性，然后求解函数在[0，+∞）上的极值；
（Ⅲ）求出f'（x）=-x²+x，利用-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；转化为设g（x）=x²-x+kln（x+1），只需证对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），求出函数g（x）的导数，构造h（x）=2x²+x+k-1，利用当△≤0，△＞0，求出g（x）≥g（0）时，求实数k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-

9

2

，∴27a+9b=-

9

2

①--------------（1分）
f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②--------------（2分）
①②联立，解得a=-

1

3

，b=

1

2

∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2-------------（4分）
（Ⅱ）F/(x)=

(2x+3)(-x+1)

x+1

--------------（5分）
F′（x）=0⇒x=1--------------（6分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	Γ单增	极大值	Φ单减

--------------（7分）
F（x）的极大值为F（1）=2ln2--------------（8分）
（Ⅲ）f'（x）=-x²+x，∴-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，-------------（9分）
∴只需证对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）g′(x)=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x+k-1

x+1

，x∈[0，+∞)--------------（10分）
设h（x）=2x²+x+k-1，
1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）--------------（12分）
2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

时，设x1，

x

2

是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=-

1

2

，可知x₁＜0，
分析题意可知当

x

2

≤0时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；
∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜

9

8

综上分析，实数k≥1，所以k的最小值为1．--------------（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的极值的求法，单调性的应用，是难度比较大的综合题目，考查转化思想的应用．