题目内容
已知函数f（x）=x3+x（x≥0），对于曲线y=f（x）上横坐标成公差为1的等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：其中所有正确的序号是 ．
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
考点：等差数列的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由函数f（x）=x3+x（x≥0），对于曲线y=f（x）上横坐标成公差为1的等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义域及函数的单调性进行判断，即可得到选项．
解答：
解：∵f（x）=x3+x（x≥0），
∴f′（x）=3x2+1≥1＞0，
∴函数f（x）=x3+x（x≥0）为增函数，
由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由由B到C的变化率，可得出∠ABC一定是钝角，故①对，②错；
由A到B的变化率要小于由由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出|AB|＜|BC|，
故三角形不可能是等腰三角形，故③错，④对；
故答案为：①④．
∴f′（x）=3x2+1≥1＞0，
∴函数f（x）=x3+x（x≥0）为增函数，
由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由由B到C的变化率，可得出∠ABC一定是钝角，故①对，②错；
由A到B的变化率要小于由由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出|AB|＜|BC|，
故三角形不可能是等腰三角形，故③错，④对；
故答案为：①④．
点评：此题考查了数列与函数的综合，着重考查函数的性质：平均变化率的理解与应用，考查等差数列的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
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| C、充要条件 |
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不等式x2-2x-15≤0的解集为（ ）
| A、[-5，3] |
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| C、（-∞，-3]∪[5，+∞） |
| D、（-∞，-5]∪[3，+∞） |
