Question

已知二次函数f（x）是偶函数，且f（4）=4f（2）=16．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）g利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系即可求实数a的取值范围

解答： 解：（1）由f（4）=4f（2）=16．
得f（4）=16，f（2）=4．
设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
∵f（x）是偶函数，∴b=0，
此时f（x）=ax²+c，
∵f（4）=16，f（2）=4．
∴

16a+c=16 4a+c=4

，解得a=1，c=0，
即f（x）=x²；
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a[x²-ax]，（（a＞0，且a≠1），
设t=m（x）=x²-ax，则函数的对称轴为x=-

-a

2

=

a

2

，
若0＜a＜1，则函数y=log_at为减函数，
则要求g（x）在区间[2，3]上为增函数，
则满足m（x）=x²-ax在区间[2，3]上为减函数

a≥3 m(3)＞0

，即

a≥3 9-3a＞0

，即

a≥3 a＜3

，此时无解，
若a＞1，则函数y=log_at为增函数，
则要求g（x）在区间[2，3]上为增函数，
则满足m（x）=x²-ax在区间[2，3]上为增函数
即

a≤2 m(2)=4-2a＞0

，即

a≤2 a＜2

，解得a＜2，
此时1＜a＜2．

点评：本题主要考查一元二次函数解析式的求解，以及复合函数单调性之间的关系，利用待定系数法求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．