Question

函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出φ及图中x₀的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+

1

3

），求函数g（x）在区间[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意可得

3

2

=cos（0+φ），可得φ的值．由

3

2

=cos（πx₀+

π

6

），可得x₀的值．
（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由 x∈[-

1

2

，

1

3

]，可得-

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

，从而可求函数g（x）在区间[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）∵

3

2

=cos（0+φ）
∴φ的值是

π

6

．…（2分）
∵

3

2

=cos（πx₀+

π

6

）
∴2π-

π

6

=πx₀+

π

6

，可得x₀的值是

5

3

．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得：f(x+

1

3

)=cos(π(x+

1

3

)+

π

6

)=cos(πx+

π

2

)=-sinπx．…（7分）
所以 f(x)+f(x+

1

3

)=cos(πx+

π

6

)-sinπx=cosπxcos

π

6

-sinπxsin

π

6

-sinπx…（8分）
=

3

2

cosπx-

1

2

sinπx-sinπx=

3

2

cosπx-

3

2

sinπx=

3

cos(πx+

π

3

)．…（10分）
因为 x∈[-

1

2

，

1

3

]，
所以 -

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

．
所以 当πx+

π

3

=0，即x=-

1

3

时，g（x）取得最大值

3

；
当πx+

π

3

=

2π

3

，即x=

1

3

时，g（x）取得最小值-

3

2

．…（13分）

点评：本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．