Question

已知函数f（x）=lnx-x-

a

x

，a∈R．
（1）若f（x）在[1，2]上单调递增，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x）=

-x2+x+a

x2

，由已知条件知-x²+x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥x²-x，所以求[1，2]上的（x²-x）_max，让a≥（x²-x）_max即可；
（2）讨论f（x）的单调性，即判断f′（x）≥0，或f′（x）≤0，即判断-x²+x+a的符号．当1+4a≤0时，可以得到f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．当1+4a＞0时，方程-x²+x+a=0有两实根x1=

1- 1+4a

2

，x2=

1+ 1+4a

2

，所以要讨论x₁和0的关系，从而找出函数f（x）的单调增区间，和减区间．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

；
若f（x）在[1，2]上单调递增，则：
-x²+x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥x²-x恒成立；
x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

，∴x=2时，x²-x取最大值2；
∴a≥2；
（2）f′（x）=

-x2+x+a

x2

，△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

时，-x²+x+a≤0，即f′（x）≤0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

时，方程-x²+x+a=0有两个实根x1=

1- 1+4a

2

，x2=

1+ 1+4a

2

；
①若1≤

1+4a

即a≥0时，x₁≤0，∴x∈（0，x₂）时，f′（x）＞0，x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₂）上单调递增，在[x₂，+∞）上单调递减；
②若1＞

1+4a

，即-

1

4

＜a＜0时，x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）时单调递减，在（x₁，x₂）上时单调递增．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，一元二次不等式的解和一元二次方程的实根与判别式△的关系，以及一元二次不等式解的情况．