Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

3

）=

3

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得方程组，解出a，b的值，从而求出函数的表达式；
（2）证明：设?-1＜x₁＜x₂＜1，得出f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）的单调性；
（3）由f（t-1）+f（2t）＜0，得出f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），结合函数的单调性得出-1＜t-1＜-2t＜1，解出即可．

解答： （1）解：由题意得：

f( 1 3 )= 3 5 f(0)=0

，解得：

a=2 b=0

；
∴f（x）=

2x

1+x2

；
（2）证明：设?-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上递增；
（3）解：∵f（t-1）+f（2t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），
∵函数f（x）在（-1，1）上递增，
∴-1＜t-1＜-2t＜1，解得：0＜t＜

1

3

，
∴原不等式的解集为：（0，

1

3

）．

点评：本题考查了函数的单调性问题，求函数的解析式问题，考查函数的奇偶性，是一道中档题．