Question

已知函数f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．
（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；
（2）若a＞

1

5

函数f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[

1

5a

，5a]，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；
（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．

解答： 解：（1）函数f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），
则0=

ab-a

ab

，则b=1，则f（x）=

x-a

ax

=

1

a

-

1

x

，
f（x）在（0．+∞）上为增函数，
理由如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=

1

a

-

1

m

-（

1

a

-

1

n

）
=

m-n

mn

，由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，则f（m）-f（n）＜0，
则f（x）在（0．+∞）上为增函数；
（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，
则函数f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[f（

1

5a

），f（？5a）]，
即有

1 a -5a= 1 5a 1 a - 1 5a =5a

，解得，a=

2

5

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．