Question

已知函数f（x）=

x+m-1

2-x

，且f（1）=1
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在你区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解②有两个不同的实数解．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（1）=1带入函数f（x）即可求得m=1；
（2）f（x）=

x

2-x

=-1+

2

2-x

，通过解析式即可看出，在（-∞，0]上，x增大时，f（x）会增大，所以是增函数．根据增函数定义，设x₁＜x₂≤0，通过作差比较f（x₁），f（x₂）的大小即可；
（3）带入f（x），将方程f（x）=kx可变成：kx²+（1-2k）x=0，x≠2，讨论k的取值解出该方程，然后让该方程分别有且仅有一个实数解，和有两个不同实数解时，求k的取值即可，也就得出了对应k的取值范围．

解答： 解：（1）f（1）=

m

1

=1；
∴m=1；
（2）f（x）=

x

2-x

=-1+

2

2-x

；
∴可以看出f（x）在（-∞，0]上单调递增，下面给出证明：
设x₁＜x₂≤0，则：
f（x₁）-f（x₂）=

2

2-x1

-

2

2-x2

=

2(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

；
∵x₁＜x₂≤0；
∴2-x₁＞0，2-x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（-∞，0]上单调递增；
（3）由f（x）=kx得：

x

2-x

=kx；
∴得到方程：kx²+（1-2k）x=0，x≠2；
k=0时，该方程的解为x=0，只有一个实数解；
k≠0时，解该方程得，x=0，或

2k-1

k

；
∴①原方程有且仅有一个实数解时：
k=0，或

2k-1

k

=0；
∴k=0，或

1

2

；
∴k的取值范围为{k|k=0，或

1

2

}；
②原方程有两个不同实数解时：

k≠0 2k-1 k ≠0 2k-1 k ≠2

；
∴k≠0，

1

2

，

3

2

；
∴k的取值范围为{k|k≠0，

1

2

，

3

2

}．

点评：考查会已知函数解析式求函数值，将分式方程转化为整式方程的方法，以及解一元二次方程，对于第三问不要漏了对x的限制x≠2．