Question

已知函数f（x）=（α+cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（

π

4

）=0，其中α∈R，θ∈（0，π）．
（1）求α，θ的值；
（2）若f（

α

4

）=-

1

5

，α∈（

π

2

，π），求sin（α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1））由f（

π

4

）=0即可求得-（α+

1

2

）sinθ=0，因为θ∈（0，π）从而可求得α=-

1

2

，又因为f（x）为奇函数，可得（-

1

2

+1）cosθ=0从而求得θ=

π

2

；
（2）由（1）得f（x）=-

1

4

sin4x．由f（

α

4

）=-

1

5

先求得cosα，sinα从而可求sin（α+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）∵f（

π

4

）=0，∴（α+cos²

π

4

）cos（

π

2

+θ）=0，
∴-（α+

1

2

）sinθ=0
∵θ∈（0，π），∴sinθ≠0，
∴α+

1

2

=0，即α=-

1

2

．
又f（x）为奇函数，∴f（0）=0，
∴（-

1

2

+1）cosθ=0，∴cosθ=0，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

．
（2）由（1）知α=-

1

2

，θ=

π

2

，
则f（x）=（cos2x-

1

2

）•cos（2x+

π

2

）
=

2cos2x-1

2

•(-sin2x)
=-

1

2

sin2x•cos2x
=-

1

4

sin4x．
∵f（

α

4

）=-

1

5

，∴

1

4

sinα=

1

5

，sinα=

4

5

．
∵α∈(

π

2

，π)，∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

∴sin（α+

π

3

）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

4

5

×

1

2

-

3

5

×

1

3

=

4-3 3

10

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，属于基础题．