Question

已知函数f（x）=cos x•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

3

2

，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）函数可化简为f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），若0＜α＜

π

2

，且sinα=

3

2

，则f（α）=

3

4

．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

即可推得增区间．

解答： 解：（1）由已知，有
f（x）=cos x•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sin x•cos x-

3

2

cos²x+

3

4

=

1

4

sin 2x-

3

4

（1+cos 2x）+

3

4

=

1

4

sin 2x-

3

4

cos 2x
=

1

2

sin（2x-

π

3

），
（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

3

2

，则f（α）=

3

4

（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，复合三角函数的单调性，属于基础题．