Question

已知数列{a_n}，其中a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数列递推式,数学归纳法

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得，在

an+1+an-1

an+1-an+1

=n中，分别令n=1，2，3可求结果；
（2）由数列前四项可猜想a_n=n（2n-1），运用数学归纳法可证明．

解答： 解：（1）由题意得，a₂=6，

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a4+a3-1

a4-a3+1

=3，
得a₁=1，a₃=15，a₄=28．
（2）猜想a_n=n（2n-1）下面用数学归纳法证明：
假设n=k时，有a_k=k（2k-1）成立，
则当n=k+1时，有

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，
∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-k-1，a_k+1=（k+1）[2（k+1）-1]，即当n=k+1时，结论成立，
∴对n∈N^*，a_n=n（2n-1）成立．

点评：该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式，考查数学归纳法，考查学生的运算求解能力．