Question

设函数f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=-

a

2

，3a＞2c＞2b，求证：
（1）a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=-

a

2

，推出3a+2b+2c=0，再由3a＞2c＞2b，即可得到a＞0，b＜0，再将2c=-3a-2b代入3a＞2c＞2b，应用不等式的性质，即可得证；
（2）求出f（0），f（2），讨论c＞0，f（0），f（1）的符号，以及c≤0，f（1），f（2）的符号，应用零点存在定理，即可得证．

解答： 证明：（1）∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，
又3a＞2c＞2b，∴3a＞0，2b＜0，∴a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b，
∵a＞0，∴-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c，
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f（1）=-

a

2

＜0，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0∴且f（1）=-

a

2

＜0，且f（2）=a-c＞0，
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题主要考查二次函数的性质，考查函数的零点存在定理及应用，考查逻辑推理能力，是一道综合题．