Question

设函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，则：
（1）求实数a的范围；
（Ⅱ）求f（x₂）的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求出f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，（x＞0）又函数f（x）有两个极值点x₁、x₂，f′（x）=0有两个不同的根，从而方程2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解出即可．
（2）由

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，得到f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，则g′（t）=2（1-2t）lnt，当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，因此g（t）在（

1

2

，1）上是增函数，从而g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

，g（t）＜g（1）=0，最后得到f（x₂）的取值范围是：（

1-2ln2

4

，0）．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，（x＞0）
又函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁、x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根，
∴方程2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0，
∴a＞0，
∴a的取值范围是（0，

1

2

）．
（2）∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt，
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数，
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴f（x₂）的取值范围是：（

1-2ln2

4

，0）．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，研究函数的极值问题，求参数的范围问题，是一道基础题．