Question

把函数y=sin（

3π

4

-x）cos（x+

π

4

）的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到的函数y=g（x）的图象关于直线x=

π

4

对称．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）就a的最小值求函数y=g（x）在区间[-

π

12

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，根据g（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，求得a的值的集合，最后根据a的范围求得a的最小值．
（2）先求得函数解析式，根据x的范围确定2x的范围，最后根据正弦函数的性质求得其最大和最小值．

解答： 解：（1）y=sin（

3π

4

-x）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x，
∴g（x）=

1

2

cos（2x-2a），它关于直线x=

π

4

对称，
∴2×

π

4

-2a=kπ，k∈Z，
∴a=-

kπ

2

+

π

4

，
∵a＞0，
∴a的最小值为

π

4

，
（2）由（1）知g（x）=

1

2

cos（2x-

π

2

）=

1

2

sin2x，
∵-

π

12

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤2x≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤sin2x≤1，
∴-

1

4

≤g（x）≤

1

2

即g（x）的值域为[-

1

4

，

1

2

]

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．解题时注意结合三角函数的图象．