Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，2a_n+1=a_n+1•a_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，由此猜测{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：a₁•a₃•a₅…a_2n-1＜

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，可求a₂，a₃，a₄的值，猜想an=

n

n+1

，用数学归纳法即可证明．
（Ⅱ）

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，可证

2n-1

2n

＜

2n-1

2n+1

，从而有a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

；令函数f(x)=x-

2

sinx，利用导数可得x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，可知0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，则有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）令n=1，2，3可知a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，
猜想an=

n

n+1

，下用数学归纳法证明．
（1）n=1时，显然成立；
（2）假设n=k时，命题成立．即ak=

k

k+1

．
当n=k+1时，由题可知ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

．
故n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，an=

n

n+1

．
（Ⅱ）证明：∵

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，
∵

2n-1

2n

＜

2n-1

4n2-1

=

2n-1

2n-1 • 2n+1

=

2n-1

2n+1

，
a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

，
∴a1•a3•a5…a2n-1＜

1-an 1+an

，
由于

1-an 1+an

=

1 2n+1

，可令函数f(x)=x-

2

sinx，则f′(x)=1-

2

cosx，
令f'（x）=0，得cosx=

2

2

，给定区间(0，

π

4

)，则有f'（x）＜0，则函数f（x）在(0，

π

4

)上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，即x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，
又0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，则有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

，即

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

点评：该题考查由递推式求数列通项、证明不等式，数学归纳法是数列部分常用方法．