Question

设f（x）=

1

3

x³+mx²+nx（m、n∈R）
（Ⅰ）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m=1，
①讨论f （x）的单调性；
②设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若过两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直线l与x轴的交点在曲线
y=f（x）上，求n的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数单调性和最值之间的故选即可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数的导数和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³+mx²+nx，
∴f′（x）=x²+2mx+n，
则g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=x²+（2m-2）x+n-3，
若g（x）在x=-2处取得最小值-5，
则

- 2m-2 2 =-2 4-2(2m-2)+n-3=-5

，
解得

m=3 n=2

，
则f（x）的解析式f（x）=

1

3

x³+3x²+2x；
（Ⅱ）（i）若m=1，则f′（x）=x²+2x+n=（x+1）²+n-1，
①当n≥1时，f′（x）≥0，此时函数单调递增．
②当n＜1时，由f′（x）=0，得x1=-1-

1-n

，x2=-1+

1-n

，
当x∈（-∞，-1-

1-n

）或（-1+

1-n

，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
当x∈（-1-

1-n

，-1+

1-n

）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减．
（ii）由题设知，x₁，x₂为方程f′（x）=0的两个根，
故有n＜1，

x

2 1

=-2x1-n，

x

2 2

=-2x2-n
f（x₁）=

1

3

x

3 1

+

x

2 1

+nx1
=

1

3

x1(-2x1-n)+

x

2 1

+nx1
=

1

3

x

2 1

+

2

3

nx1
=

1

3

(-2x1-n)+

2

3

nx1
=

2

3

(n-1)x1-

n

3

同理，f（x₂）=

2

3

(n-1)x2-

n

3

故直线l的方程为y=

2

3

(n-1)x-

n

3

设l与x轴的交点为（x₀，0），得x₀=

n

2(n-1)

由题设知，点（x₀，0）在曲线y=f（x）上
故f（x₀）=0⇒

1

3

[

n

2(n-1)

]3+[

n

2(n-1)

]2+

n2

2(n-1)

=0，
⇒

n2

24(n-1)3

(12n2-17n+6)=0⇒n=0 或 n=

2

3

或 
n=

3

4

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，函数单调性的判断，要求熟练掌握函数单调性和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．