Question

已知n∈N⁺，x∈R，求满足条件（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1的x的值．

Answer 1

考点：三角方程

专题：三角函数的求值

分析：解出n=1，2的x的集合．当n≥3时，分奇数偶数、象限角与象限界角讨论即可得出．

解答： 解：①当n=1时，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化为cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)=1，即cos(x+

π

4

)=

2

2

，
∴x=2kπ±

π

4

（k∈Z），∴x的取值集合为{x|x=2kπ±

π

4

（k∈Z）}；
②当n=2时，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化为cos²x-sin²x=cos2x=1，∴x=2kπ（k∈Z），
∴x的取值集合为{x|x=2kπ（k∈Z）}；
③当n=3时，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化为（cosx-sinx）（cos²x+cosxsinx+sin²x）=1，
当x坐标轴上的角时，x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）满足题意；
当x为第一象限角时，1＞cosx＞0，1＞sinx＞0，则（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ＜1，
（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1不成立，同理为其它象限角时也不成立．
综上可得：当n≥2，且n为奇数时，x的取值集合为{x|x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．
④当n=4时，（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1化为cos²x-sin²x=cos2x=1，∴x=2kπ（k∈Z），
当x坐标轴上的角时，x=2kπ（k∈Z）满足题意；
当x为第一象限角时，1＞cosx＞0，1＞sinx＞0，则（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ＜1，
（cosx）ⁿ-（sinx）ⁿ=1不成立，同理为其它象限角时也不成立．
综上可得：当n≥2，且n为偶数数时，x的取值集合为{x|x=2kπ（k∈Z）}．
综上可得：当n=1时，x的取值集合为{x|x=2kπ±

π

4

（k∈Z）}；
当n≥2，且n为偶数时，x的取值集合为{x|x=2kπ（k∈Z）}；
当n＞2，且n为奇数时，x的取值集合为{x|x=2kπ或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．

点评：本题考查了三角函数方程的解法、三角函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了观察推理能力与计算能力，属于难题．