Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n=1，2，3…），求首项a₁和通项a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=1时，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，转化为an=4an-1+2n，
化为an+2n=4(an-1+2n-1)，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n=1，2，3…），
∴当n=1时，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，化为an=4an-1+2n，
化为an+2n=4(an-1+2n-1)，
∴数列{an+2n}是等比数列，首项为4，公比q=4．
∴an+2n=4n，即an=4n-2n．

点评：本题考查了利用递推式求数列的通项公式，考查了转化为等比数列的数列的通项公式的求法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．