Question

（1）已知0＜x＜1，求函数y=

4

x

+

1

1-x

的最小值．
（2）设x＞-1，求函数y=

(x+5)(x+2)

x+1

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：本题（1）根据“1=x+（1-x）”，利用乘1法，将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式得到函数最小值；（2）将二次分式化成部分分式的形式，配凑成积为定值，再用基本不等式得到本题结论．

解答： 解：（1）∵0＜x＜1，
∴1-x＞0．
∴y=

4

x

+

1

1-x

=[x+(1-x)](

4

x

+

1

1-x

)=5+

4(1-x)

x

+

x

1-x

≥9．
当且仅当

4(1-x)

x

=

x

1-x

时，即x=

2

3

，上式取“=”，
故y_min=9．
（2）y=

[(x+1)+4][(x+1)+1]

x+1

=x+1+

4

x+1

+5≥2

(x+1)• 4 x+1

+5=9．
当且仅当x=1时，上式取“=”．
故y_min=9．

点评：本题考查的是基本不等式求最值，在用不等式时注意不等式的使用条件，解题的关键在于先要对原式适当进行变形．本题属于中档题．