Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，f（1）=1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）判断f（x）的单调性，并证明；
（4）当-3≤x≤3时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值域,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可利用赋值法进行，令x=y=0求出f（0）=0，
（2）根据函数奇偶性定义进行判定，该函数是抽象函数，故可利用赋值法进行，令y=-x，即可得到结论；
（3）根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设设x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，从而得到函数的单调性．
（4）可利用赋值法，求出f（3）的值，再根据函数为奇函数，求出f（-3），再根据函数的单调性，求得范围．

解答： 证明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得  f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
（2）设x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
由（1）知f（x）为奇函数，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上为增函数；
（4）令x=y=1，得f（2）=2f（1）=2，
再令x=1，y=2．得f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3，
∴f（-3）=-f（3）=-3，
又f（x）在R上为增函数减函数，当-3≤x≤3时，
f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（3）=3，最小值为：f（-3）=-3，
∴f（x）的取值范围为[-3，3]

点评：本题考查的是抽象函数，涉及到其单调性和最值，解决这类问题关键是利用好条件，将问题转化到函数性质的定义上去应用．