Question

如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，侧棱PA、PB、PC上各有一点A₁，B₁、C₁，且PA₁=a₁，PB₁=b₁，PC₁=c₁，求证：

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

abc

a1b1c1

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：把棱锥P-A₁B₁C₁看作棱锥C₁-PA₁B₁，把棱锥P-ABC看作C-PAB，分别从C₁和C作底面的高h₁和h，由此利用等积法能证明

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

abc

a1b1c1

．

解答： 证明：把棱锥P-A₁B₁C₁看作棱锥C₁-PA₁B₁，
把棱锥P-ABC看作C-PAB，
分别从C₁和C作底面的高h₁和h，
则

h1

h

=

PC1

PC

=

c1

c

，
则VC1-PA1B1=

1

3

S△PA1B1•h1=

1

3

•

1

2

•a1b1sin∠A1PB1•h1，
VC-PAB=

1

3

S△PAB•h=

1

3

•

1

2

absin∠APB•h，
∴

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

VC1-PA1B1

VC-PAB

=

1 3 • 1 2 a1b1sin∠A1PB1•h1

1 3 • 1 2 absin∠APB•h

=

abc

a1b1c1

．

点评：本题考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法和空间思维能力的培养．