Question

如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF分别是B₁B和D₁D上的点，且BE=

1

3

BB₁，DF=

2

3

DD₁，证明：A、E、C₁、F四点共面．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：法一：由AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F，知△ABE≌△C₁D₁F，进而AE=C₁F，同理AF=C₁E，故AEC₁F为平行四边形，由此能够证明A、E、C₁、F四点共面．
法二：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，1，0），E（0，1，1），由此能证明A、E、C₁、F四点共面．

解答： 证明：（证法一）∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BE=

1

3

BB₁，DF=

2

3

DD₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE=C₁F，
同理AF=C₁E，
故AEC₁F为平行四边形，
∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，1，0），E（0，1，1），…（2分）
∴

C1F

=（1，0，-1），

EA

=（1，0，-1），
∴C₁F∥EA，
∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）

点评：本题考查四点共面的证明，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何为平面几何进行求解，解题时要注意向量法的合理运用．