Question

10．某城市的夏季室外温度y（℃）的波动近似地按照规则$y=27+10sin（{\frac{π}{12}t+π}）$，其中t（h）是从某日0点开始计算的时间，且t≤24．
（1）若在t₀（h）（t₀≤6）时的该城市室外温度为22°C，求在t₀+8（h）时的城市室外温度；
（2）某名运动员要在这个时候到该城市参加一项比赛，比赛在当天的10时至16时进行，而该运动员一旦到室外温度超过36°C的地方就会影响正常发挥，试问该运动员会不会因为气温影响而不能正常发挥？

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出函数的解析式，然后求解t₀+8（h）时的城市室外温度．
（2）通过自变量的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．

解答 解：$y=27+10sin（{\frac{π}{12}t+π}）$=$27-10sin\frac{π}{12}t\;，\;\;t∈[0\;，\;\;24]$，…（1分）
（1）当t=t₀时y=22（t₀≤6），$sin\frac{π}{12}{t_0}=\frac{1}{2}$，∴t₀=2，
当t=t₀+8=10时，$y=27-10sin（{\frac{π}{12}×10}）=27-10×\frac{1}{2}=22$，
∴在t₀+8（h）时的城市室外温度为22°C；…（7分）
（2）由题意得t∈[10，16]，$\frac{π}{12}t∈[{\frac{5}{6}π\;，\;\;\frac{4}{3}π}]$，$sin\frac{π}{12}t∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;\;\frac{1}{2}}]$，…（10分）．
∴$y=27-10sin\frac{π}{12}t∈[1922\;，\;\;27+5\sqrt{3}]$，…（12分）
即t∈[10，16]时，${y_{max}}=27+5\sqrt{3}$，
比较$27+5\sqrt{3}$与36的大小，即比较$5\sqrt{3}$与9的大小，而$5\sqrt{3}$＜9，
∴该运动员不会因为气温影响而不能正常发挥…（16分）

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的最值，考查计算能力．