Question

18．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（-2，4）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）证明$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16+16=0，可得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，即可证明△ABC是直角三角形；
（2）求出△ABC的外接圆的方程，利用△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m的值．

解答 （1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（-2，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（8，4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16+16=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴ABC是直角三角形；
（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x-3）²+（y-4）²=25，
∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，
∴圆心到直线的距离d=4=$\frac{|12+12+m|}{\sqrt{16+9}}$，
∴m=-4或-44．

点评 本题考查直角三角形的判断，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．