Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠-2），a_n+1=2S_n+2ⁿ，n∈N^•．
（Ⅰ）设b_n=S_n+2ⁿ．求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}是单调递增数列，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n+1-S_n=a_n+1计算可知S_n+1=3S_n+2ⁿ，进而计算可知数列{b_n}是以a+2为首项、3为公比的等比数列；
（Ⅱ）通过（I）可知S_n=（a+2）•3^n-1-2ⁿ，并与S_n-1=（a+2）•3^n-2-2^n-1（n≥2）作差可知a_n=（a+2）•2•3^n-2-2^n-1（n≥2），利用数列{a_n}是单调递增数列化简、整理即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：由题意可知S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+2ⁿ，
即S_n+1=3S_n+2ⁿ，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{S}_{n+1}+{2}^{n+1}}{{S}_{n}+{2}^{n}}$=$\frac{3{S}_{n}+3•{2}^{n}}{{S}_{n}+{2}^{n}}$=3，
又∵a≠-2，即a+2≠0，
∴数列{b_n}是以a+2为首项、3为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（I）可知，S_n+2ⁿ=b₁•3^n-1=（a+2）•3^n-1，
∴S_n=（a+2）•3^n-1-2ⁿ，
S_n-1=（a+2）•3^n-2-2^n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=（a+2）•2•3^n-2-2^n-1（n≥2），
又∵a₁=a不满足上式，且数列{a_n}是单调递增数列，
∴a₂-a₁=a+2＞0，即a＞-2，
且a_n+1-a_n=（a+2）•2•3^n-1-2ⁿ-（a+2）•2•3^n-2+2^n-1＞0（n≥2），
即4（a+2）•3^n-2＞2^n-1，化简得a+2＞$\frac{9}{8}$•$（\frac{2}{3}）^{n}$，即a＞-$\frac{3}{2}$，
综上所述，实数a的取值范围是a＞-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，涉及数列的单调性等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．