Question

19．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，直线y=$\sqrt{3}$x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x-4y-12=0 的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，设出以直线y=$\sqrt{3}$x为一条渐近线的双曲线方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=λ$（λ＞0），然后结合焦点坐标求得λ，则曲线方程可求；
（2）求出直线在两坐标轴上的截距，然后直接分类代入抛物线方程得答案．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得a²=8，b²=4，
∴c²=a²-b²=4，则焦点坐标为F（2，0），
∵直线y=$\sqrt{3}$x为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=λ$（λ＞0），
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{3λ}=1$，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由3x-4y-12=0，得$\frac{x}{4}-\frac{y}{3}=1$，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，-3），
∴分别以（4，0），（0，-3）为焦点的抛物线方程为：
y²=16x或x²=-12y．

点评 本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线$y=±\frac{b}{a}x$为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．