Question

18．无穷数列{a_n}满足${a_i}∈{N^*}$，且${a_i}≤{a_{i+1}}（i∈{N^*}）$，对于数列{a_n}，记${b_k}=min\left\{{n|{a_n}≥k}\right\}（k∈{N^*}）$，其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中的最小数
（1）若数列{a_n}：1，3，5，7，…，请写出${b_1}，{b_2}，{b_{a_2}}$；
（2）已知T_n=${a_1}+{a_2}+…+{a_n}+{b_1}+{b_2}+…+{b_{a_n}}，求证{T_n}=（n+1）{a_n}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}为1首项，2为公差的等差数列，运用定义，即可得到所求值；
（2）考查符合条件的数列{a_n}中，存在某个i（i≤i≤n-1）满足a_i≤a_i+1，通过b_k（a_n）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），可得${b}_{{a}_{i}+1}$=i+1，故只需将数列P略作调整，仅将第a_i的值增加1，即调整后s′=s．如果数列{a_n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a_n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，计算即可．

解答 解：（1）由数列{a_n}：1，3，5，7，…，
即为1首项，2为公差的等差数列，
可得b₁=min{n|a_n≥1}=1，
b₂=min{n|a_n≥2}=2，${b}_{{a}_{2}}$=min{n|a_n≥a₂=3}=2；
（2）证明：考查符合条件的数列{a_n}中，
若存在某个i（1≤i≤n-1）满足a_i≤a_i+1，
对应可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+${b}_{{a}_{n}}$．
∵b_k=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴${b}_{{a}_{i}+1}$=i+1，
下面将数列{a_n}略作调整，仅将第a_i的值增加1，具体如下：
将a_j′=a_j+1，对于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，
可得数列a_n′及其对应数列b_k（a_n′），
根据数列b_k（a_n′）的定义，可得${b}_{{a}_{i}+1}$（a_n′）=i，
且b_j（a_n′）=b_j（a_n）（j≠a_i+1）．
显然${b}_{{a}_{i}+1}$（a_n′）=${b}_{{a}_{i}+1}$（a_n）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a_n′+b₁（a_n′）+b₂（a_n′）+…+${b}_{{a}_{n}}$（a_n′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a_n+b₁（a_n）+b₂（a_n）+…+（${b}_{{a}_{i}+1}$-1）+${b}_{{a}_{i}+2}$+…+${b}_{{a}_{n}}$（a_n）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即调整后s′=s．
如果数列{a_n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，
最终一定可以经过有限次的操作，使得{a_n}中的每一项变为相等，
且操作中保持s的值不变，
而当a₁=a₂=…=a_n时，b₁（a_n）=b₂（a_n）=…=${b}_{{a}_{n}}$（a_n）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+${b}_{{a}_{n}}$=a_n•n+a_n=（n+1）a_n．

点评 本题是一道建立在数列上的新定义题，考查运动变化的思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．