Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜

π

2

），且函数图象过点（

π

4

，

1

4

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

2

3

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求函数y=g（x）在区间[0，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，把点（

π

4

，

1

4

）代入求得φ．
（Ⅱ）根据题意得出g（x）的函数解析式，利用x的范围和三角函数的性质求得函数g（x）的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（

π

2

+φ）
=

1

2

sin2xsinφ+

1

2

（1+cos2x）cosφ-

1

2

cosφ
=

1

2

sin2xsinφ+

1

2

cos2xcosφ
=

1

2

cos（2x-φ）
∵函数图象过点（

π

4

，

1

4

）．
∴

1

4

=

1

2

cos（

π

2

-φ），即cos（

π

2

-φ）=sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

（Ⅱ）由题意可知y=g（x）=f（

3

2

x）=

1

2

cos（3x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

3

]
∴（3x-

π

6

）∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

3

2

≤cos（3x-

π

6

）≤1
∴函数y=g（x）在区间[0，

π

3

]上的最大值为

1

2

，最小值为-

3

4

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和三角函数图象与性质．解题关键就是要化繁为间，化难为易．