Question

设函数f（x）=

x2+1

-ax，当a∈[1，+∞）时，试证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数判断函数的单调性，由f′（x）=

x

x2+1

-a得f′（x）＜0在区间[0，+∞）上恒成立，即可得证．

解答： 证明：∵f（x）=

x2+1

-ax，
∴f′（x）=

x

x2+1

-a=

x-a x2+1

x2+1

∵a∈[1，+∞），x∈[0，+∞），∴

x-a x2+1

x2+1

＜

x-a x2

x2+1

=

(1-a)x

x2+1

＜0
∴f′（x）＜0在区间[0，+∞）上恒成立，
∴当a∈[1，+∞）时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．

点评：函数单调性的证明方法有定义法和导数法，本题采用导数法证明较好．