Question

已知函数f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函数的解析式并判断其奇偶性．
（2）探究并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元法，令t=x²-3，则x²=t+3，代入已知可得f（t），可得f（x），进而可判奇偶性；
（2）当a＞1时函数在其定义域上为增函数．当0＜a＜1时f（x）在其定义域上为减函数，用定义法结合复合函数的单调性证明即可．

解答： 解：（1）换元法，令t=x²-3，则x²=t+3，
代入已知可得f(t)=loga

t+3

6-(t+3)

=loga

3+t

3-t

∴函数的解析式为：f(x)=loga

3+x

3-x

，-3＜x＜3
∵f（x）+f（-x）=loga

3+x

3-x

+loga

3-x

3+x

=loga(

3+x

3-x

×

3-x

3+x

)=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（2）当a＞1时函数在其定义域上为增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈（-3，3）且x₁＜x₂，
令U（x）=

3+x

3-x

=-1+

6

3-x

，
则U(x1)-U(x2)=

6

3-x1

-

6

3-x2

=

6(x1-x2)

(3-x1)(3-x2)

∵x₁，x₂∈（-3，3）且x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）＜0，（3-x₁）（3-x₂）＞0
∴U（x₁）-U（x₂）＜0，即U（x₁）＜U（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂），
∴函数f（x）为定义域上的增函数．
同理可证当0＜a＜1时f（x）在其定义域上为减函数．

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和单调性，属中档题．