Question

已知y=f（x）为定义在R上不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R都有f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）、f（-1）的值；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性并加以证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令a=b=0，可求出f（0），令a=b=1，可求出f（1），令a=b=-1，可求出f（-1）；
（2）运用函数的奇偶性的定义，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次令a=-1，b=x，代入并注意f（-1）=0即可判断．

解答： 解：（1）令a=b=0，则f（0）=0，
令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）即f（1）=0，
令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0，即f（-1）=0，
故f（0）=0，f（1）=0，f（-1）=0；
（2）函数f（x）是奇函数，理由如下：
∵f（x）的定义域为R，
令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
由（1）得，f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性及应用，注意定义的运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是解题的关键．