Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2

6

．
（1）求五棱锥A′-BCDFE的体积；
（2）求平面A′EF与平面A′BC的夹角．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．
（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3

2

，即点O是AC，BD的交点，以点O为原点，OA，OB，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A′EF与平面A′BC夹角．

解答： 解：（1）连接AC，设AC∩EF=H，
由ABCD是正方形，AE=AF=4，
得H是EF的中点，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，
则A′O⊥平面ABCD．…（4分）
∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，
得到：A′H=2

2

，CH=4

2

，
∴cos∠A′HC=

8+32-24

2×2 2 ×4 2

=

1

2

，
∴HO=A′H•cos∠A′HC=

2

，A′O=

6

，
∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=

1

3

×(62-

1

2

×4×4)×

6

=

28 6

3

．…（6分）
（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3

2

，即点O是AC，BD的交点，
如图以点O为原点，OA，OB，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意知A′(0，0，

6

)，B（0，3

2

，0），C（-3

2

，0，0），D（0，-3

2

，0），
E（

2

，2

2

，0），F（

2

，-2

2

，0），A′(0，0，

6

)，…（7分）
∴

FE

=(0，4

2

，0)，

A′E

=(

2

，2

2

，-

6

)，

CB

=(3

2

，3

2

，0)，

A′B

=(0，3

2

，-

6

)，
设平面A′EF的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • FE =4 2 y=0 n • A′E = 2 x+2 2 y- 6 z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，0，1)，…（9分）
设平面A′BC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • CB =3 2 x1+3 2 y1=0 m • A′B =3 2 y1- 6 z1=0

，
令y₁=1，得

m

=（-1，1，

3

），…（11分）
∴cos＜

m

，

n

＞=0，即平面A′EF与平面A′BC夹角是

π

2

．…（12分）

点评：本题考查五棱锥的体积的求法，考查平面与平面的夹角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．