题目内容
求由抛物线y=-x2+4x及其在点A（0，0）和点B（4，0）处的切线所围成的图形的面积．
考点：定积分在求面积中的应用
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：求出在点A（0，0）和点B（4，0）处的切线方程，可得两条切线的交点的坐标，从而可求三角形的面积，再用定积分求面积，即可得出结论．
解答：
解：∵y=-x2+4x，
∴y′=-2x+4，
∴在点A（0，0）和点B（4，0）处的切线方程分别为y=4x，y=-4x+16，
设两条切线的交点为C，则C（2，8），∴S△ABC=16．
∵
(-x2+4x)dx=(-
x3+2x2)
=
，
∴所求面积为16-
=
．
∴y′=-2x+4，
∴在点A（0，0）和点B（4，0）处的切线方程分别为y=4x，y=-4x+16，
设两条切线的交点为C，则C（2，8），∴S△ABC=16．
∵
| ∫ | 4 0 |
| 1 |
| 3 |
| | | 4 0 |
| 32 |
| 3 |
∴所求面积为16-
| 32 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查导数的几何意义，正确求定积分是关键．
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