Question

某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费．已知第n（n∈N^*）天应付维修费为

1

4

（n-1）+500元，机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和平均分摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废．
（Ⅰ）求前n天维修费用总和；
（Ⅱ）将每天的平均损耗y（元）表示为投产天数n的函数；
（Ⅲ）求机器使用多少天应当报废？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设a_n=

1

4

（n-1）+500，则{a_n}为等差数列，且首项为500，公差为

1

4

，可得前n天维修费用总和；
（Ⅱ）将前n天维修费用总和与设备成本相加，除以总天数即可得到函数关系式；
（Ⅲ）利用基本不等式求最值，即可得出结论．．

解答： 解：（Ⅰ）设a_n=

1

4

（n-1）+500，则{a_n}为等差数列，且首项为500，公差为

1

4

…（2分）
所以前n天维修费用总和S_n=

n[500+ 1 4 (n-1)+500]

2

=

1

8

n2+

3999

8

n（n∈N^*）…（4分）
（Ⅱ）y=

1

n

（

1

8

n2+

3999

8

n+500000）=

n

8

+

500000

n

+

3999

8

（n∈N^*） …（9分）
（Ⅲ）∵

n

8

+

500000

n

≥500，
当且仅当

n

8

=

500000

n

，即n=2000时，y取到最小值
答：机器使用到2000天时应到报废．                              …（13分）

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查平均损耗，考查了函数的最值问题，属于中档题．